已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}对定义域内的任意x1,x2,都有f (x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>

已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}对定义域内的任意x1,x2,都有f (x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>

题型:解答题难度:一般来源:同步题
已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}对定义域内的任意x1,x2,都有f (x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1。
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式:f(2x2-1)<2。
答案
解:(1)因对定义域内的任意x1,x2都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x,x2=-1,则有 f(-x)=f(x)+f(-1)
又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1)
再令x1=x2=1,得f(1)=0,从而f(-1)=0,
于是有f(-x)=f(x)
∴f(x)是偶函数;
 (2)设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-
由于0<x1<x2

从而
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)由于f(2)=1,
所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),
于是待解不等式可化为f(2x2-1)<f(4)
结合(1),(2)已证结论,得上式等价于|2x2-1|<4
解得
举一反三

函数f(x)、g(x)在区间[-a,a]上都是奇函数,则下列结论:
①f(x)+g(x)在[-a,a]上是奇函数;
②f(x)-g(x)在[-a,a]上是奇函数;
③f(x)·g(x)在[-a,a]上是偶函数;
其中正确的个数是

[     ]

A.1
B.2
C.3
D.0

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已知函数f(x)=(x≠0),则这个函数[     ]
A.是奇函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
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设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定是[     ]
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
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奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点[     ]
A.(a,f(-a))
B.(-a,f(a))
C.(-a,-f(a))
D.(a,)
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已知有四个命题:
①偶函数的图象必定与y轴相交;
②偶函数的图象必定关于y轴对称;
③奇函数的图象必定通过原点;
④若函数f(x)既是奇函数,又是偶函数,则f(x)=0(x∈R);
其中正确的命题个数是[     ]
A.0
B.1
C.2
D.3
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