已知a＞0且a≠1，f(x)是奇函数，ψ(x)=(a-1)f(x)。（1）判断ψ(x)的奇偶性，并给出证明； （2）证明：若xf(x)＞0，则ψ(x)＞0。

题型：解答题难度：一般来源：0115 期中题

已知a＞0且a≠1，f(x)是奇函数，ψ(x)=(a-1)f(x)。
（1）判断ψ(x)的奇偶性，并给出证明； 
（2）证明：若xf(x)＞0，则ψ(x)＞0。

答案

（1）解：∵f(x)为奇函数，
∴f(-x)=-f(x)，
又ψ(x)的定义域为{x∈R|x≠0}， 
则
,
∴ψ(x)是偶函数．
（2）证明：若x＞0，则由已知，f(x)＞0，这时 
①当a＞1时，，a-1＞0，∴ψ(x)＞0；
②当0＜a＜1时，，a-1＜0，∴ψ(x)＜0；
又ψ(x)是偶函数，
∴x＜0，ψ(x)=ψ(-x)＞0，
故当xf(x)＞0时，ψ(x)＞0．