已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,ψ(x)=(a-1)f(x)。(1)判断ψ(x)的奇偶性,并给出证明; (2)证明:若xf(x)>0,则ψ(x)>0。

已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,ψ(x)=(a-1)f(x)。(1)判断ψ(x)的奇偶性,并给出证明; (2)证明:若xf(x)>0,则ψ(x)>0。

题型:解答题难度:一般来源:0115 期中题
已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,ψ(x)=(a-1)f(x)
(1)判断ψ(x)的奇偶性,并给出证明; 
(2)证明:若xf(x)>0,则ψ(x)>0。
答案

(1)解:∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
又ψ(x)的定义域为{x∈R|x≠0}, 

,
∴ψ(x)是偶函数.
(2)证明:若x>0,则由已知,f(x)>0,这时 
①当a>1时,,a-1>0,∴ψ(x)>0;
②当0<a<1时,,a-1<0,∴ψ(x)<0;
又ψ(x)是偶函数,
∴x<0,ψ(x)=ψ(-x)>0,
故当xf(x)>0时,ψ(x)>0.

举一反三
定义两种运算:,则函数f(x)=为[     ]

A.奇函数
B.偶函数
C.奇函数且为偶函数
D.非奇函数且非偶函数

题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=

[     ]

A.0    
B.1    
C.    
D.5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
图中给出了奇函数f(x)的局部图象,已知f(x)的定义域为[-5,5],试补全其图象,并比较f(1)与f(3)的大小.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列结论正确的是[     ]
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数y=f(x)若在x=0处有定义,则其图象一定经过原点
C.定义域为R的增函数一定是奇函数
D.图像过原点的单调函数,一定是奇函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为

[     ]

A.-1
B.0
C.1
D.2

题型:单选题难度:简单| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.