已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值为8,求二次函数f(x)的解析式.

已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值为8,求二次函数f(x)的解析式.

题型:解答题难度:简单来源:不详
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值为8,求二次函数f(x)的解析式.
答案
f(x)=-4x2+4x+7
解析
(解法1:利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),解得
∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
(解法2:利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x=,即m=;又根据题意,函数最大值ymax=8,
∴n=8,∴f(x)=a2+8.∵f(2)=-1,∴a+8=-1,解得a=-4.
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
(解法3:利用两根式)由题意知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即=8,解得a=-4或a=0(舍),∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2-(-4)x-2×(-4)-1=-4x2+4x+7
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1,10),且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12,求二次函数f(x)的表达式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2aln x在(1,2)上为增函数,则a的值等于(  ).
A.1 B.2 C.0 D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
若不等式(mx-1)[3m 2-( x + 1)m-1]≥0对任意恒成立,则实数x的值为    
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知关于x的一元二次函数
(1)设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为
求函数在区间[上是增函数的概率;
(2)设点()是区域内的随机点,求函数上是增函数的概率.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设max{f(x),g(x)}=,若函数n(x)=x2+px+q(p,q∈R)的图象经过不同的两点(,0)、(,0),且存在整数n使得n<<<n+1成立,则(    )
A.max{n(n),n(n+1)}>1B.max{n(n),n(n+1)}<1
C.max{n(n),n(n+1)}>D.max{n(n),n(n+1)}>

题型:单选题难度:一般| 查看答案
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