设f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:(1)方程f(x)=0有实数根;(2)-2<ba<-1;(3)设x1,

设f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:(1)方程f(x)=0有实数根;(2)-2<ba<-1;(3)设x1,

题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:
(1)方程f(x)=0有实数根;
(2)-2<
b
a
<-1;
(3)设x1,x2是方程f(x)=0的两个实数根,则


3
3
≤|x1-x2|
3
2
答案
(1)∵a≠0,a+b+c=0,a+c=-b,
∴△=4b2-12ac=4(a+c)2-12ac=4[
3
4
a2+(
1
2
a-c)2]
>0
f(x)=3ax2+2bx+c=0有实数根,--(4分)
(2)由f(0)f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0
∵a+b+c=0,
∴c=-(a+b),
∴-(a+b)•(2a+b)>0,
-a2(1+
b
a
)(2+
b
a
)
>0,
(1+
b
a
)(2+
b
a
)<0

解得-2<
b
a
<-1----------(9分)
(3)∵x1,x2是方程f(x)=0的两个实数根,
x1+x2=-
2b
3a
x1x2=
c
3a
=-
a+b
3a

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=
4b2
9a2
-4(-
a+b
3a

=
4
9
(
b
a
+
3
2
)2+
1
3

∵-2<
b
a
<-1
1
3
(x1-x2)2
4
9



3
3
≤|x1-x2|
2
3
.--------(15分)
举一反三
设f(x)=x2+bx+b,其最小值为0,则b的值为(  )
A.0B.4C.0或4D.0或-4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=x2-2(a-3)x+3在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
对于二次函数y=4x2+8x-3,
(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;
(2)说明其图象由y=4x2的图象经过怎样平移得来;
(3)求函数的最大值或最小值;
(4)分析函数的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f(1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)的值是(  )
A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.0D.(0,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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