设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-12对称,且f′(1)=0(Ⅰ)求实数a,b的值(Ⅱ)求函数f(

设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-12对称,且f′(1)=0(Ⅰ)求实数a,b的值(Ⅱ)求函数f(

题型:解答题难度:一般来源:重庆
设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-
1
2
对称,且f′(1)=0
(Ⅰ)求实数a,b的值
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
答案
(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b
从而f′(x)=6(x+
a
6
)
2
+b-
a2
6
,即
y=f′(x)关于直线x=-
a
6
对称,
从而由条件可知-
a
6
=-
1
2
,解得a=3
又由于f′(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2-12x+1
f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)
令f′(x)=0,得x=1或x=-2
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上是增函数;
当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-2,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
从而f(x)在x=-2处取到极大值f(-2)=21,在x=1处取到极小值f(1)=-6.
举一反三
若不等式kx2-2kx+4>0对x∈R恒成立,则实数k的取值范围是(  )
A.(0,4)B.(-∞,0)∪(4,+∞)C.[0,4]D.[0,4)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)=cos2x+acosx(x∈R)的最小值为-4,则a 的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax-3a-9的值域为[0,+∞),则f(1)的值为(  )
A.3B.4C.5D.6
题型:单选题难度:简单| 查看答案
对任意实数a,b,函数F(a,b)=
1
2
(a+b-|a-b|)
,如果函数f(x)=-x2+2x+3,g(x)=x+1,那么函数H(x)=F(f(x),g(x))的最大值等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
不等式logax>(x-1)2恰有三个整数解,则a的取值范围为(  )
A.(
165

94

]
B.[
94

43

)
C.(1,
165

)
D.(1,
94

)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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