(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b 从而f′(x)=6(x+)2+b-,即y=f′(x)关于直线x=-对称, 从而由条件可知-=-,解得a=3 又由于f′(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2-12x+1 f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2) 令f′(x)=0,得x=1或x=-2 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上是增函数; 当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-2,1)上是减函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 从而f(x)在x=-2处取到极大值f(-2)=21,在x=1处取到极小值f(1)=-6. |