已知二次函数y=g(x)的图象经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,其中m>n
题型:解答题难度:一般来源:惠州模拟
已知二次函数y=g(x)的图象经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,其中m>n>0,b<a. (1)求g(x)的二次项系数k的值; (2)比较a,b,m,n的大小(要求按从小到大排列); (3)若m+n≤2,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f(x)均相切,求y=f(x). |
答案
(1)由题意可设g(x)=kx(x-m),k≠0, 又函数图象经过点P(m+1,m+1),则m+1=k(m+1)(m+1-m),得k=1.…(2分) (2)由(1)可得y=g(x)=x(x-m)=x2-mx. 所以f(x)=(x-n)g(x)=x(x-m)(x-n)=x3-(m+n)x2+mnx, f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn,…(4分) 函数f(x)在x=a和x=b处取到极值, 故f′(a)=0,f′(b)=0,…(5分) ∵m>n>0, ∴f′(m)=3m2-2(m+n)m+mn=m2-mn=m(m-n)>0…(7分) f′(n)=3n2-2(m+n)n+mn=n2-mn=n(n-m)<0 又b<a,故b<n<a<m. …(8分) (3)设切点Q(x0,y0),则切线的斜率k=f/(x0)=3x02-2(m+n)x0+mn 又y0=x03-(m+n)x02+mnx0,所以切线的方程是y-x03+(m+n)x02-mnx0=[3x02-2(m+n)x0+mn](x-x0)…(9分) 又切线过原点,故-x03+(m+n)x02-mnx0=-3x03+2(m+n)x02-mnx0 所以2x03-(m+n)x02=0,解得x0=0,或x0=. …(10分) 两条切线的斜率为k1=f/(0)=mn,k2=f/(), 由m+n≤2,得(m+n)2≤8, ∴-(m+n)2≥-2, ∴k2=f/()=-2(m+n)×+mn=-(m+n)2+mn≥mn-2, …(12分) 所以k1k2≥mn(mn-2)=(mn)2-2mn=(mn-1)2-1≥-1, 又两条切线垂直,故k1k2=-1,所以上式等号成立,有m+n=2,且mn=1. 所以f(x)=x3-(m+n)x2+mnx=x3-2 x2+x. …(14分) |
举一反三
选修4-5,不等式选讲,已知f(x)=x2-x+c,设x1,x2∈(0,1),且x1≠x2.求证:|f(x1)-f(x2)|<. |
设函数f(x)=ax2+bx+c,若f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>4},则( )A.f(5)<f(2)<f(-1) | B.f(-1)<f(2)<f(5) | C.f(2)<f(-1)<f(5) | D.f(2)<f(5)<f(-1) |
|
设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,且f′(1)=0 (Ⅰ)求实数a,b的值 (Ⅱ)求函数f(x)的极值. |
若不等式kx2-2kx+4>0对x∈R恒成立,则实数k的取值范围是( )A.(0,4) | B.(-∞,0)∪(4,+∞) | C.[0,4] | D.[0,4) |
|
若函数f(x)=cos2x+acosx(x∈R)的最小值为-4,则a 的值为______. |
最新试题
热门考点