已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x2）与f（1+2x-x2）满足什么条件时才有-2＜x＜0？
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x2）与f（1+2x-x2）满足什么条件时才有-2＜x＜0？ |
答案
∵对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），
∴函数的对称轴是直线x=2，
∵f（x）的二次项系数为负，
∴f（x）在（-∞，2]上单增，在（2，+∞）上单调．
又∵1-2x2≤1，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2．
∴需讨论1-2x2与1+2x-x2的大小．
由1+2x-x2-（1-2x2）=x（x+2）知
当x（x+2）＜0，即-2＜x＜0时，1+2x-x2＜1-2x2．
故f（1+2x-x2）＜f（1-2x2）时，有-2＜x＜0． |
举一反三
| 已知f（x）=x2-4x，则f（sinx）的最小值为（ ） |
已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次项系数k的值；
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）． |
| 选修4-5，不等式选讲，已知f（x）=x2-x+c，设x1，x2∈（0，1），且x1≠x2．求证：|f(x1)-f(x2)|＜． |
设函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或x＞4}，则（ ）| A．f（5）＜f（2）＜f（-1） | B．f（-1）＜f（2）＜f（5） | C．f（2）＜f（-1）＜f（5） | D．f（2）＜f（5）＜f（-1） |
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设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值． |
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