已知二次函数f（x）=ax2+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）是
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知二次函数f（x）=ax2+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由． |
答案
（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-，∴-=1．①
又f（x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）2=0．②
由①，②得 b=1，a=-．∴f（x）=-x2+x．
（2）∵f（x）=-x2+x=-（x-1）2+≤．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤，∴n≤．
从而m＜n≤＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴ | | f(m)=-m2+m=3m | | f(n)=-n2+n=3n |
| |
，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求． |
举一反三
| 已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x2）与f（1+2x-x2）满足什么条件时才有-2＜x＜0？ |
| 已知f（x）=x2-4x，则f（sinx）的最小值为（ ） |
已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次项系数k的值；
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）． |
| 选修4-5，不等式选讲，已知f（x）=x2-x+c，设x1，x2∈（0，1），且x1≠x2．求证：|f(x1)-f(x2)|＜． |
设函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或x＞4}，则（ ）| A．f（5）＜f（2）＜f（-1） | B．f（-1）＜f（2）＜f（5） | C．f（2）＜f（-1）＜f（5） | D．f（2）＜f（5）＜f（-1） |
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