若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点cosα,cosβ,其中α,β∈(0,π),那么在f(-1),f(1)两个函数值中(  )A.只有一个小于1B.至少有一

若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点cosα,cosβ,其中α,β∈(0,π),那么在f(-1),f(1)两个函数值中(  )A.只有一个小于1B.至少有一

题型:单选题难度:一般来源:不详
若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点cosα,cosβ,其中α,β∈(0,π),那么在f(-1),f(1)两个函数值中(  )
A.只有一个小于1B.至少有一个小于1
C.都小于1D.可能都大于1
答案
∵函数f(x)=x2+ax+b有两个零点cosα,cosβ,∴cosα+cosβ=-a,cosα×cosβ=b.
∴f(1)=1+a+b=1-cosα-cosβ+cosα cosβ=(1-cosα)(1-cosβ),
f(-1)=1-a+b=1+cosα+cosβ+cosα cosβ=(1+cosα)(1+cosβ).
∵α,β∈(0,π),下面对α,β分以下三种情况讨论(不妨设α<β).
①当0<α<β≤
π
2
时,0≤cosβ<cosα<1,
∴1>1-cosα>0,1≥1-cosβ>0,1+cosα>1,1+cosβ≥1,
∴f(1)<1,f(-1)>1.
②当
π
2
≤α<β<π
时,-1<cosβ<cosα≤0,
∴0<1+cosβ<1,0<1+cosα≤1,1-cosβ>1,1-cosα≥1,
∴f(1)>1,f(-1)<1.
③当0<α≤
π
2
<β<π时,-1<cosβ<0≤cosα<1,cosαcosβ≤0.
当cosα=0时,f(-1)=1+cosβ<1.
下面对cosαcosβ<0用反证法证明f(1)、f(-1)必有一个小于1.
假设f(1)≥1,f(-1)≥1,
则1-cosα-cosβ+cosα cosβ≥1,1+cosα+cosβ+cosα cosβ≥1,
∴cosαcosβ≥cosα+cosβ≥-cosαcosβ,
∴cosαcosβ≥0,
这与cosαcosβ<0矛盾,故f(1)与f(-1)中必有一个小于1.
对0<α<
π
2
≤β<π
时,同理可得f(1)与f(-1)中必有一个小于1.
综上①②③可知:f(1)与f(-1)中必有一个小于1.
故选B.
举一反三
已知f(x)=x2-(k+1)x+2,若当x>0时f(x)恒大于零,则k的取值范围为______.
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已知关于x的方程x2-2ax+a2=0有唯一解,则a=______.
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已知f(x)=xlnx,g(x)=
1
2
x2-x+a

(1)当a=2时,求函数y=g(x)在[0,3]上的值域;
(2)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>
g′(x)+1
ex
-
2
e
成立.
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已知二次函数f(x)=
a
2
x2-x-a(a>0)

(I)若f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),试求f(x)的解析式;
(II)若函数f(x)在区间[


2
,2]
上的最小值为h(a),试求h(a)的最大值.
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函数f(x)=ax2+4x-3,当x∈[0,2]时在x=2取得最大值,求a的取值.
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