已知函数f(x)=ax2+bx-1满足以下两个条件:①函数f(x)的值域为[-2,+∞);②任意x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)成立.(1)求f(x)
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已知函数f(x)=ax2+bx-1满足以下两个条件: ①函数f(x)的值域为[-2,+∞); ②任意x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)成立. (1)求f(x)的解析式; (2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围. |
答案
(1)由函数f(x)=ax2+bx-1满足以下两个条件: ①函数f(x)的值域为[-2,+∞);②任意x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)成立. 所以可知:函数f(x)有最小值-2=,a>0;其函数图象关于直线x=-1对称,即-1=-, 联立,解得 ∴f(x)=x2+2x-1. (2)由(1)可知:F(x)=(1-k)x2-2(1+k)x+k-1. 当k=1时,F(x)=-4x在[-2,2]上是减函数,故k=1满足条件. 当k≠1时,F′(x)=2(1-k)x-2(1+k)=2(1-k)(x-) 当满足时,即1<x≤3时,F(x)在[-2,2]上单调递减; 当满足时,即≤k<1时,F(x)在[-2,2]上单调递减; 综上可知:实数k的取值范围是≤k≤3. |
举一反三
如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上是递增的,那么实数a的取值范围是( ) |
函数f(x)=x2+2x在[m,n]上的值域是[-1,3],则m+n所成的集合是( )A.[-5,-1] | B.[-1,1] | C.[-2,0] | D.[-4,0] |
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函数f(x)=cos2x+sinx+1,x∈[-,]的值域为______. |
设二次函数的对称轴为x=2,与x轴交于两点,且这两点的横坐标的平方和为10,图象过点(0,3),则这个二次函数的表达式为______. |
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