设f(x)=ax2+2(b+1)x,g(x)=2x-c,其中a>b>c,且a+b+c=0(1)求证:13<aa-c<23;(2)求证:函数f(x)与g(x)的图
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设f(x)=ax2+2(b+1)x,g(x)=2x-c,其中a>b>c,且a+b+c=0(1)求证:13<aa-c<23;(2)求证:函数f(x)与g(x)的图
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(x)=ax
2
+2(b+1)x,g(x)=2x-c,其中a>b>c,且a+b+c=0
(1)求证:
1
3
<
a
a-c
<
2
3
;
(2)求证:函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点
(3)设f(x)与g(x)图象的两个不同交点为A、B,求证:
15
<|AB|<2
15
.
答案
证明:(1)由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,b=-a-c
由a>b得
2a>-c
2c<-a
即
3a>a-c
2(a-c)>3a
∴
a
a-c
>
1
3
,且
a
a-c
<
2
3
…(4分)
(2)由f(x)=g(x) 得ax
2
+2bx+c=0
∵△=4b
2
-4ac=4[(a+c)
2
-ac]=
4[(a+
c
2
)
2
+
3
c
2
4
]>0
故有两个不同交点 …(8分)
(3)∵
|AB|=
(1+
k
2
)
|
x
A
-
x
B
|
=
(1+
k
2
)[(
x
A
+
x
B
)
2
-4
x
A
x
B
=
2
5
a
b
2
-ac
=
2
5
•
(
a-c
a
)
2
-
3c
a
=
2
5
(
c
a
)
2
+
c
a
+1
=
2
5
(
c
a
+
1
2
)
2
+
3
4
又
-2<
c
a
<-
1
2
从而得证
15
<|AB|<2
15
…(12分)
举一反三
实数x,y满足
x
2
+
y
2
4
=1
,则2x+y的最大值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若不等式x
2
-x+c<0的解集为∅,则c的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知方程3x
2
-6(m-1)x+m
2
+1=0的两个虚根为α,β,且|α|+|β|=2,求实数m的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=-x
2
-2ax-3在(-2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数f(x)=x
2
+bx+c(x∈R)且f′(x)+f(x)>0恒成立,则对∀a∈(0,+∞),下面不等式恒成立的是( )
A.f(-a)<e
a
f(0)
B.f(-a)>e
a
f(0)
C.f(a)<e
a
f(0)
D.f(a)>e
a
f(0)
题型:单选题
难度:一般
|
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