某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的x米

题型：解答题难度：一般来源：不详

某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的x米墙面需花(2+

3x

)x万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？

答案

由题意可知，需打2(

60

x

+1)+2(

30

x

-1)=

180

x

个桩位．（3分）
墙面所需费用为：(2+

3x

)x•

180

x

=180(2+

3x

)，（5分）
∴所需总费用y=

180

x

×

9

2

+180×(2+

3x

)=180(

9

2x

+

3x

)+360（0＜x＜30）（9分）
令t=

9

2x

+

3x

，则t′=-

9

2x2

+

3

2 x

=

3 (-3 3 2 +x 3 2 )

2x2

，
当0＜x＜3时，t′＜0；当3＜x＜30时，t′＞0．
∴当x=3时，t取极小值为t=

9

2×3

+

3×3

=

9

2

．
而在（0，30）内极值点唯一，所以tmin=

9

2

．
∴当x=3时，ymin=180×

9

2

+360=1170（万元），
即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．（14分）