已知正数x满足x+2x≤a(4x+1)恒成立,则实数a的最小值为______.
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已知正数x满足x+2x≤a(4x+1)恒成立,则实数a的最小值为______.
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
已知正数x满足
x+2
x
≤a(4x+1)
恒成立,则实数a的最小值为______.
答案
设t=
x
,则t>0,则问题等价于不等式(4a-1)t
2
-2t+a≥0恒成立,
(1)当4a-1=0即a=
1
4
时,不等式化为-2t+
1
4
≥0,t
≤
1
8
,不恒成立;
(2)当4a-1<0即a<
1
4
时,二次函数y=(4a-1)t
2
-2t+a的开口向下,对称轴为t=
1
4a-1
<0,显然不合题意;
(3)当4a-1>0即a>
1
4
时,二次函数y=(4a-1)t
2
-2t+a的开口向上,对称轴为t=
1
4a-1
>0,
且t=0时y=a>0,要使(4a-1)t
2
-2t+a≥0恒成立,
只需△=4-4(4a-1)a≤0,即a≤
1-
17
8
或a
≥
1+
17
8
,
又a>
1
4
,所以a
≥
1+
17
8
,
综上得实数a的最小值为
1+
17
8
,
故答案为:
1+
17
8
.
举一反三
已知函数f(x)=-2x
2
+6x-3,x∈[-1,3],f(x)最大值为M,最小值为m,则M+m=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
2
+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R时,函数f(x)的最小值是f(-1)=0.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若g(x)=f(x)-1在区间[m,n](m<n)上的值域也为[m,n],求m和n的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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二次函数y=x
2
-4x+3在区间(1,4]上的值域是( )
A.[-1,+∞)
B.(0,3]
C.[-1,3]
D.(-1,3]
题型:单选题
难度:简单
|
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函数y=x
2
-4x,x∈[0,1]的最小值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若不等式x
2
+ax+1≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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