已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相等的实数根.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相等的实数根. (1)求f(x)的解析式; (2)求函数在区间[-3,3]上的最大值和最小值; (3)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n],如果存在,求出m,n的值,如不存在,请说明理由. |
答案
(1)∵f(2)=0∴4a+2b=0 ① 又方程f(x)=x有等根,即ax2+bx-x=0的判别式为零 ∴(b-1)2=0 ∴b=1 代入①a=- ∴f(x)=-x2+x (2)f(x)=-(x-1)2+ ∴函数的对称轴为x=1 ∴当x=1时,函数取得最大值为f(1)=; 当x=-3时,函数取得最小值为f(-3)=-; (3)∵f(x)=-(x-1)2+≤,f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n], ∴2n≤ ∴n≤ 而f(x)=-x2+x的对称轴为x=1, ∴当n≤时,f(x)在[m,n]上为增函数. 若满足题设条件的m,n存在,则 即 ∴ ∵m<n≤. ∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-4,0]. 由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,n=0. |
举一反三
设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(a),则g(a)=______. |
A、B两座城市相距100km,在两地之间距A城市xkm的D处建一核电站给A、B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市的距离不得少于10km.已知供电费用与“供电距离的平方与供电量之积”成正比,比例系数k=0.25,若A城市供电量为20亿度/月,B城市为10亿度/月. (1)求x的范围; (2)把月供电总费用y表示成x的函数; (3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小. |
函数f(x)=x2+mx+13的图象关于直线x=1对称的充要条件是______. |
函数f(x)=x2,函数f(x-1)的图象的对称轴是( )A.y轴 | B.直线x=-1 | C.直线x=1 | D.直线x=2 |
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设函数f(x)=ax2-bx+1(a,b∈R),F(x)= (1)如果f(1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0,求F(x)的解析式; (2)在(1)在条件下,若g(x)=f(x)-kx在区间[-3,3]是单调函数,求实数k的取值范围; (3)已知a>0且f(x)为偶函数,如果m+n>0,求证:F(m)+F(n)>0. |
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