设函数f（x）=ax2-bx+1（a，b∈R），F(x)=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0（1）如果f（1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0，求F（x）的解

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

（1）如果f（1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0，求F（x）的解析式；
（2）在（1）在条件下，若g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）已知a＞0且f（x）为偶函数，如果m+n＞0，求证：F（m）+F（n）＞0．

答案

解（1）∵f（1）=0，
∴b=a+1（1分）
∵对任意实数x均有f（x）≥0恒成立，
即对任意实数x均有ax²-bx+1≥0恒成立（2分）
当a=0时，b=1，这时，f（x）=-x+1，它不满足f（x）≥0恒成立（3分）
当a≠0时，则a＞0且△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0
∴a=1，b=2（4分）
从而f（x）=x²-2x+1，
∴F(x)=

(x-1)2，x＞0 -(x-1)2，x＜0

（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1=(x-

k+2

2

)2-

1

4

k2-k（6分）
∵g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数
∴

k+2

2

≤3或

k+2

2

≥3，
即k≤-8或k≥4
∴k的取值范围是（-∞，-8]∪[4，+∞）（7分）
（3）∵f（x）是偶函数，
∴b=0（8分）
故f（x）=ax²+1，
∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

    （9分）
∵a＞0，
∴当x＞0时f（x）＞0
∵m+n＞0，
∴m，n中至少有一个正数，即m，n都是正数或一个正数，一个负数
若m，n都是正数，则F（m）＞0，F（n）＞0，所以F（m）+F（n）＞0（10分）
若m，n一个正数，一个负数，不妨设m＞，n＜0，又m+n＞0
则F（m）+F（n）=am²+1-（an²+1）=a（m+n）（m-n）＞0（11分）
综上可得，F（m）+F（n）＞0．（12分）