已知函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为(1,+∞),且存在最小值-2;(1)求实数a的值;(2)令g(x)=f(x)x,求函数y=g(x)的最值.

已知函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为(1,+∞),且存在最小值-2;(1)求实数a的值;(2)令g(x)=f(x)x,求函数y=g(x)的最值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为(1,+∞),且存在最小值-2;(1)求实数a的值;(2)令g(x)=
f(x)
x
,求函数y=g(x)的最值.
答案
(1)∵函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为(1,+∞),
又∵f(x)=(x-a)2+a-a2,…(1分)
若a>1,则当x=a时,fmin(x)=a-a2=-2…(3分)
解得a=2或a=-1(舍)
∴a=2…(5分)
说明:若a≤1,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,无最小值,无论是否讨论a≤1均不扣分
(2)∵a=2,
∴f(x)=x2-4x+2,…(6分)
g(x)=
f(x)
x
=
x2-4x+2
x
=x+
2
x
-4,x∈(1,+∞)
…(8分)
x+
2
x
≥2


2
,当且仅当x=
2
x
x=


2
∈(1,+∞)
时等号成立…(10分)
∴当x=


2
时,g(x)取最小值2


2
-4
,无最大值…(12分)
举一反三
已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是(  )
A.
5
6
B.
6
5
C.
25
36
D.
36
25
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+2x+1,如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1,m]都成立的m的最大值是5,则实数k=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f(n).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)在各项均不为零的数列{cn}中,若ci•ci+1<0,则称ci,ci+1为这个数列{cn}一对变号项.令cn=1-
a
an
(n为正整数),求数列{cn}的变号项的对数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(Ⅰ)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(Ⅱ)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=


3
sinx+cos(x+θ)
的定义域为R,最大值为1(其中θ为常数,且-
π
2
≤θ≤
π
2
).
(1)求角θ的值;
(2)若f(x0)=1,求cos2x0的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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