已知椭圆C：  x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点坐标为(0，3)，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知椭圆C：  

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点坐标为(0，

3

)，离心率为

1

2

．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求

PA

•

PF

的取值范围．

答案

（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知b=

3

， 

c

a

=

1

2

，
所以a=2， b=

3

， c=1，
得椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）设P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），则

PA

=(-2-x，-y)，

PF

=(1-x，-y)，
∴

PA

•

PF

=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=

1

4

x2+x+1(-2≤x≤2)．
当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
∴

PA

•

PF

∈[0，4]