设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M
题型:解答题难度:一般来源:不详
设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x}. (1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值; (2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值. |
答案
(1)由f(0)=2可知c=2, 又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实根. ∴,解得a=1,b=-2 ∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为x∈[-2,2],根据函数图象可知,当x=1时, f(x)min=f(1)=1,即m=1; 当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x1=x2=1, 根据韦达定理得到:,即, ∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]其对称轴方程为x==1- 又a≥1,故1-∈[,1) ∴M=f(-2)=9a-2 m=f()=1- 则g(a)=M+m=9a--1 又g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的,∴当a=1时,g(a)min= |
举一反三
若二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)且f(a)≤f(0)<f(1),则实数a的取值范围是______. |
函数f(x)=x2+2x-1(x∈R)的值域是______. |
函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是______. |
已知函数f(x)=x2+ax+1,f(x)在x∈[-3,1)上恒有f(x)≥-3成立,求实数a的取值范围. |
已知f(x)是二次函数,对任意x∈R都满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)当x∈[-2,1]时,y=f(x)的图象恒在y=-x+m的图象上方,求实数m的取值范围. |
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