已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ-x（1-x）+（1-x2）sinθ＞0恒成立，试求θ的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知当x∈[0，1]时，不等式x²cosθ-x（1-x）+（1-x²）sinθ＞0恒成立，试求θ的取值范围．

答案

设f（x）=x²•cosθ-x•（1-x）+（1-x）²•sinθ=（1+sinθ+cosθ）x²-（2sinθ+1）x+sinθ
①若1+cosθ+sinθ=0，
即 θ=π或

3

2

π时，原不等式不恒成立．
②若 1+cosθ+sinθ≠0，即θ≠π或

3

2

π时，
∵f（x）在[0，1]的最小值为f（0）或f（1）或 f[

2sinθ+1

2(1+cosθ+sinθ)

]
∴

f(0)＞0 f(1)＞0 f[ 2sinθ+1 2(1+cosθ+sinθ) ]＞0

由第1个不等式得sinθ＞0，由第2个不等式得cosθ＞0，由第3个不等式得 sinθ＞

1

2

∴2kπ+

π

12

＜θ＜

5

12

π+2kπ(k∈Z)