二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，试用a表示不等式f（x）+2＞0的解集．

题型：解答题难度：一般来源：不详

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，试用a表示不等式f（x）+2＞0的解集．

答案

不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}
即ax²+（b+2）x+c＞0解集为（1，3），即1，3是对应方程ax²+（b+2）x+c=0的两个根，
⇒

a＜0 - b+2 a =4 c a =3

⇒

b=-4a-2 c=3a a＜0

，
所以f（x）=ax²+（4a+2）x+3a，（a＜0）．
所以f（x）+2＞0等价为f（x）=ax²+（4a+2）x+3a+2＞0，
即（x-1）[ax-（3a+2）]＞0．
因为a＜0，所以原不等式等价为(x-1)[x-(3+

2

a

)]＜0．
①若3+

2

a

＜1，即-1＜a＜0时，解得3+

2

a

＜x＜1．
②若3+

2

a

=1，即a=-1，此时（x-1）²＜0，此时不等式无解．
③若3+

2

a

＞1，即a＜-1，得1＜x＜3+

2

a

．
综上：当-1＜a＜0时，不等式的解集为(3+

2

a

，1)．
当a=-1时，不等式的解集为空集．
当a＜-1时，不等式的解集为(1，3+

2

a

)．