解:(1)∵f(x+1)为偶函数, ∴f(﹣x+1)=f(x+1), 即a(﹣x+1)2+b(﹣x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立, 即(2a+b)x=0恒成立, ∴2a+b=0, ∴b=﹣2a, ∴f(x)=ax2﹣2ax, ∵函数f(x)的图象与直线y=x相切, ∴二次方程ax2﹣(2a+1)x=0有两相等实数根, ∴△=(2a+1)2﹣4a×0=0, ∴a=, 即有f(x)=﹣x2+x (2)∵f(x)=﹣(x﹣1)2+≤, ∴[km,kn](﹣∞,], ∴kn≤,又k≥, ∴n≤≤, 又[m,n](﹣∞,1],f(x)在[m,n]上是单调增函数, ∴即 即m,n为方程﹣x2+x=kx的两根, 解得=0,x2=2﹣2k. ∵m<n且k≥. 故当≤k<1时,[m,n]=[0,2﹣2k]; 当k>1时,[m,n]=[2﹣2k,0]; 当k=1时,[m,n]不存在 |