二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象
题型:解答题难度:一般来源:同步题
二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围. |
答案
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c, 由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1. 因为f(x+1)﹣f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+1)=2x. 即2ax+a+b=2x, 所以 ,∴ , 所以f(x)=x2﹣x+1 (2)由题意得x2﹣x+1>2x+m在[﹣1,1]上恒成立. 即x2﹣3x+1﹣m>0在[﹣1,1]上恒成立. 设g(x)=x2﹣3x+1﹣m, 其图象的对称轴为直线 , 所以g(x)在[﹣1,1]上递减. 故只需g(1)>0,即12﹣3×1+1﹣m>0, 解得m<﹣1. |
举一反三
设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2﹣x.则f(1)=( ) |
若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b=( ) |
已知函数f(x)=﹣2x2+bx+c在x=1时有最大值1, (1)求f(x)的解析式; (2)若0<m<n,且x∈[m,n]时,f(x)的值域为.试求m,n的值. |
如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数a取值范围是 |
[ ] |
A. a≤﹣3 B. a≥﹣3 C. a≤5 D. a≥5 |
已知奇函数f(x)的定义域是R,且f(x)=f(1﹣x),当0≤x≤ 时,f(x)=x﹣x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的解析式; (3)求函数f(x)的值域. |
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