已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1﹣x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)﹣x只有一个零点.(Ⅰ)求函数f(x)的解析
题型:解答题难度:一般来源:北京期中题
已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1﹣x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)﹣x只有一个零点. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n]. |
答案
解:(Ⅰ)因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1﹣x)=f(1+x), 所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1. 所以﹣=1,即b=﹣2a. 因为函数g(x)=f(x)﹣x只有一个零点, 即ax2﹣(2a+1)x=0有等根. 所以△=(2a+1)2=0. 即a=﹣,b=1. 所以f (x)=﹣x2+x. (Ⅱ)①当m<n<1时,f (x)在[m,n]上单调递增,f (m)=3m,f (n)=3n, 所以m,n是﹣x2+x=3x的两根. 解得m=﹣4,n=0; ②当m≤1≤n时,3n=,解得n=.不符合题意; ③当1<m<n时,f (x)在[m,n]上单调递减, 所以f (m)=3n,f (n)=3m. 即﹣m2+m=3n,﹣n2+n=3m. 相减得﹣(m2﹣n2)+(m﹣n)=3(n﹣m). 因为m≠n, 所以﹣(m+n)+1=﹣3. 所以m+n=8. 将n=8﹣m代入﹣m2+m=3n, 得﹣m2+m=3(8﹣m).但此方程无解. 所以m=﹣4,n=0时,f (x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]. |
举一反三
二次函数f(x)满足f(4+x)=f(﹣x),且f(2)=1,f(0)=3,若f(x)在[0,m]上有最小值1,最大值3,则实数m的取值范围是 |
[ ] |
A.[2,4] B.(0,2] C.(0,+∞) D.[2,+∞) |
如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2﹣t),那么在三个数a=f(1)、b=f(2)、c=f(4)中从小到大的顺序是 _________ . |
若f(x)=x2﹣x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且a≠1), (1)求f(log2x)的最小值及相应 x的值; (2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1),求由x的值组成的集合. |
若二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2﹣x)且f(a)≤ f(0)<f(1),则实数a的取值范围是( ). |
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当a=1时,求f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数. |
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