已知二次函数f（ x ）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．（1）求这个函数的解析式；（2）求函数在x∈（0，3]的值域

题型：解答题难度：一般来源：安徽省期中题

已知二次函数f（ x ）=x²+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求函数在x∈（0，3]的值域

答案

解：（1）二次函数f（x）关于x=1对称 
∴
∴a=﹣2
又f（x）的图象经过原点
∴b=0
∴f（x）的解析式为f（x）=x²﹣2x    
（2）∵对称轴x=1落在区间（0，3]内，且抛物线开口向上
∴函数在（0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增
∴x=1时，f（x）有最小值，最小值为f（1）=1﹣2=﹣1；
x=3时，f（x）有最大值，最大值为f（3）=9﹣6=3
∴f（x）的值域是[﹣1，3]