已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负，（Ⅰ）求实数a，b的值及函数f（

题型：解答题难度：一般来源：0110 期中题

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负，
（Ⅰ）求实数a，b的值及函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+4（k+1）x+2（6k-1），问k取何值时，函数F（x）的值恒为负值？

答案

解：（1）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，
∴，
∴，
∴f（x）=-4x²+16x+48；
（2）F（x）=（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
当k=0时，F（x）=4x-2不恒为负值；
当k≠0时，若F（x）的值恒为负值，
则有，解得k＜-2。