定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数
题型:解答题难度:一般来源:专项题
定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax2, (Ⅰ)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,并说明理由; (Ⅱ)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ)当a=-1时,, ∴f(x)在x∈(-∞,0)上单调递增, ∴, 故函数f(x)在(-∞,0)上的值域为(-∞,1), 又∵f(x)<1, ∴|f(x)|∈[0,+∞), ∴不存在常数M>0,使|f(x)|≤M都成立, 故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (Ⅱ)若函数f(x)在[1,4]上是以3为上界的有界函数, 则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即-3≤f(x)≤3, ∴-3≤ax2+x+1≤3, ∴,即在x∈[1,4]上恒成立, ∴, 令,则, ∴, 令g(t)=-4t2-t,则, 令h(t)=2t2-t, 则, ∴实数a的取值范围为。 |
举一反三
已知f(x)=x2+bx+c且f(-1)=f(3),则 |
[ ] |
A、 B、 C、 D、 |
已知函数f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为[-1,3],则b-a的取值范围是( )。 |
已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3, (Ⅰ)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (Ⅱ)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值. |
已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R), (Ⅰ)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值; (Ⅱ)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1, (Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4,求实数a的值; (Ⅱ)若函数g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,求实数a的取值范围. |
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