设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R，t＞0)，(Ⅰ)求f (x)的最小值h(t)； (Ⅱ)若h(t)＜-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的

题型：解答题难度：一般来源：福建省高考真题

设函数f(x)=tx²+2t²x+t-1(x∈R，t＞0)，
(Ⅰ)求f (x)的最小值h(t)；
(Ⅱ)若h(t)＜-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）∵，
∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t³+t-1，
即h(t)=-t³+t-1；
(Ⅱ)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t³+3t-1-m，
由g′(t)=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去），
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：

∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m，
h(t)＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0，
所以m的取值范围为m＞1。