设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.
题型:解答题难度:一般来源:同步题
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, (1)讨论f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的最小值. |
答案
解:(1)当a=0时,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数; 当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, ∴f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a), 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=+a, 若,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减, ∴函数f(x)在(-∞,a]上单调递减, ∴函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1; 若,函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为,且; ②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=-a+, 若,则函数f(x)在[a,+∞)上最小值为,且; 若,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递减, ∴函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是f(a)=a2+1; 综上,当a≤时,函数f(x)的最小值是; 当时,函数f(x)的最小值是a2+1; 当时,函数f(x)的最小值是。 |
举一反三
函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,且对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x),则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )。 |
函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为 |
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A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 |
若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值. |
已知二次函数y=f(x)的图象经过点(0,-8),(1,-5),(3,7)三点. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的零点; (3)比较f(2)f(4),f(-1)f(3),f(-5)f(1),f(3)f(-6)与0的大小关系. |
如图所示,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽2m,边坡的倾角为45°,水深hm,则横截面中有水面积Am2与水深hm的函数关系式为( )。 |
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