某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里／小时的航行速度沿正

题型：解答题难度：困难来源：福建省高考真题

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里／小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里／小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
 （I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
 （Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
 （Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里／小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案

解析

解：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里
则
     
     
故当时，
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小；（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇
由题意可得：（vt）²=20²+（30t）²-2·20·30t·cos（90°-30°）
化简得
由于，即
所以当时，v取得最小值
即小艇航行速度的最小值为海里/小时；（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设
于是400u²-600u+900-v²=0。（*）
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正跟
即
解得
所以v的取值范围是。