在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.(Ⅰ)求实数b的取值范围;(Ⅱ)求

在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.(Ⅰ)求实数b的取值范围;(Ⅱ)求

题型:解答题难度:一般来源:江苏高考真题
在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.
(Ⅰ)求实数b的取值范围;
(Ⅱ)求圆C的方程;
(Ⅲ)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论。
答案
解:(Ⅰ)显然b≠0.
否则,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2,0),
这与题设不符,
由b≠0知,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0,b),
故它与x轴必有两个交点,
从而方程x2+2x+b=0有两个不相等的实数根,
因此方程的判别式4-4b>0,即b<1,
所以b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).
(Ⅱ)由方程x2+2x+b=0,得
于是,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与坐标轴的交点是
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因圆C过上述三点,将它们的坐标分别代入圆C的方程,得

解上述方程组,因b≠0,得
所以,圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0。
(Ⅲ)圆C过定点.
证明如下:假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),
将该点的坐标代入圆C的方程,并变形为x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0,(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,
必须有1-y0=0,结合(*)式得x02+y02+2x0-y0=0,
解得
经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C上.
因此,圆C过定点.
举一反三
如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝。再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)。
( I)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);
(Ⅱ)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素)。
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已知a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数是[     ]
A.0
B.1
C.2
D.1或2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知a,b,c成等比数列,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的个数是[     ]
A.0
B.1
C.2
D.0或1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时,f(x)<0,求f(x)的解析式。
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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