已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)，当x=2时，函数取得最大值2，其图象在x轴上截得线段长为2，求其解析式．

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(x∈R)，当x=2时，函数取得最大值2，其图象在x轴上截得线段长为2，求其解析式．

答案

解法1：由条件知a＜0，且顶点为(2，2)，
设f(x)=a(x-2)²+2，即y=ax²-4ax+4a+2，
设它与x轴两交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)，
则x₁+x₂=4，x₁x₂=4+，
由条件知，|x₁-x₂|=，
∴a=-2，
∴解析式为f(x)=-2x²+8x-6；
解法2：由条件知f(x)的对称轴为x=2，
设它与x轴两交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)，且x₁＜x₂，
则，∴，
故可设f(x)=a(x-1)(x-3)，
∵过(2，2)点，∴a=-2，
∴f(x)=-2x²+8x-6。