设a为正实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(Ⅰ)若f(0)≤-1,求a的取值范围;(Ⅱ)求f(x)的最小值;(Ⅲ)若x∈(a,+∞),求不等式f
题型:解答题难度:一般来源:不详
设a为正实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (Ⅰ)若f(0)≤-1,求a的取值范围; (Ⅱ)求f(x)的最小值; (Ⅲ)若x∈(a,+∞),求不等式f(x)≥1的解集. |
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|, ∴若f(0)≤-1,则-a|a|≤-1, ∴a2≥1, 解得a≥1, 故a的取值范围是[1,+∞).…(2分) (Ⅱ)当x≥a时,f(x)=3x2-2ax+a2, ∵对称轴x=, ∴f(x)min=f(a)=2a2,…(4分) 当x<a时,f(x)=x2+2ax-a2, ∵对称轴x=-a, ∴f(x)min=f(-a)=-2a2, 综上:f(x)min=-2a2.…(6分) (Ⅲ)x∈(a,+∞)时,f(x)≥1, 得3x2-2ax+a2-1≥0, △=4a2-12(a2-1)=12-8a2, 当△≤0,即a≥时, 不等式的解为{x|x>a};…(8分) 当△>0,即0<a<时, 得, 讨论:当a∈(,)时,解集为(a,+∞);…(10分) 当a∈(0,]时,解集为[,+∞).…(11分) 综上:当a>时,解集为{x|x>a}; 当a∈(0,]时,解集为[,+∞).(12分) |
举一反三
已知二次函数f(x)是定义在R上的偶函数,且关于x的不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3}. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)设F(x)=f(x)+bx,且当x∈[-1,2]时,函数F(x)的最小值为1,求实数b的值. |
设集合M=[0,1),N=[1,2),函数f(x)=. (1)若x∈M,g(x)=f2(x)-2f(x)+a,且g(x)的最小值为1,求实数a的值; (2)若x0∈M,且f(f(x0))∈M,求x0的取值范围. |
若关于x的方程=x+m没有实数解,则实数m的取值范围为______. |
若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的范围是______. |
已知函数f(x)=x2-mlnx+(m-1)x,m∈R. (1)当m=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当m≤0时,讨论函数f(x)的单调性; (3)求证:当m=-2时,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>-1. |
最新试题
热门考点