(1)显然函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当m=2时,f′(x)==. ∴当x∈(0,1)时,f"(x)<0, x∈(1,+∞),f"(x)>0. ∴f(x)在x=1时取得最小值,其最小值为f(1)=. (2)∵f′(x)=x-+(m-1)== ∴①当-1<m≤0即-m<1时, 若x∈(0,-m)时,f"(x)>0,f(x)为增函数; x∈(-m,1)时,f"(x)<0,f(x)为减函数; x∈(1,+∞)时,f"(x)>0,f(x)为增函数 ②当m=-1时, f′(x)=≥0,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数. ③当m<-1即-m>1时, x∈(0,1)时,f"(x)>0,f(x)为增函数; x∈(1,-m)时,f"(x)<0,f(x)为减函数; x∈(-m,+∞)时,f"(x)>0,f(x)为增函数. 证明:(3)不妨设0<x1<x2,要证明>-1, 即证明:f(x2)+x2>f(x1)+x1 当m=-2时,函数f(x)=x2+2lnx-3x. 考查函数h(x)=f(x)+x=x2+2lnx-2x ∵h′(x)=x+-2==>0 ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数, 对任意0<x1<x2,h(x2)>h(x1), 所以f(x2)+x2>f(x1)+x1, ∴>-1 命题得证 |