已知二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+bx，
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+bx，且当x∈[-1，2]时，函数F（x）的最小值为1，求实数b的值． |
答案
（I）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（x）是偶函数知f（x）的图象关于y轴对称，
则-=0，即b=0，故f（x）=ax2+c．…（1分）
∵不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}，
∴a＞0且x1=1，x2=3是方程f（x）-4x=0即ax2-4x+c=0的两根．
由韦达定理，得，
解得：a=1，c=3．…（5分）
∴f（x）=x2+3．…（6分）
（II）由（ I）知，F(x)=x2+bx+3=(x+)2+3-，对称轴x=-．…（7分）
下面分类讨论：
①当-≥2，即b≤-4时，F（x）在[-1，2]上为减函数，
∴F（x）min=F（2）=2b+7=1，得b=-3（舍去）．…（9分）
②当-∈(-1，2)，即-4＜b＜2时，F(x)min=F(-)=-+3=1，
∴b=-2或b=2（舍去）．…（11分）
③当-≤-1，即b≥2时，F（x）在[-1，2]上为增函数，
∴F（x）min=F（-1）=4-b=1，得b=3．…（13分）
综上所述，b=-2或b=3为所求．…（14分） |
举一反三
设集合M=[0，1），N=[1，2），函数f(x)=．
（1）若x∈M，g（x）=f2（x）-2f（x）+a，且g（x）的最小值为1，求实数a的值；
（2）若x0∈M，且f（f（x0））∈M，求x0的取值范围． |
| 若关于x的方程=x+m没有实数解，则实数m的取值范围为______． |
| 若一元二次不等式2kx2+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的范围是______． |
已知函数f(x)=x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（1）当m=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）求证：当m=-2时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞-1． |
| 若关于x的不等式x2-4x-2-a＞0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（ ） |
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