已知二次函数f(x)是定义在R上的偶函数,且关于x的不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3}.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设F(x)=f(x)+bx,

已知二次函数f(x)是定义在R上的偶函数,且关于x的不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3}.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设F(x)=f(x)+bx,

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)是定义在R上的偶函数,且关于x的不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3}.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设F(x)=f(x)+bx,且当x∈[-1,2]时,函数F(x)的最小值为1,求实数b的值.
答案
(I)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,
-
b
2a
=0
,即b=0,故f(x)=ax2+c.…(1分)
∵不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3},
∴a>0且x1=1,x2=3是方程f(x)-4x=0即ax2-4x+c=0的两根.
由韦达定理,得





1+3=
4
a
1×3=
c
a

解得:a=1,c=3.…(5分)
∴f(x)=x2+3.…(6分)
(II)由( I)知,F(x)=x2+bx+3=(x+
b
2
)2+3-
b2
4
,对称轴x=-
b
2
.…(7分)
下面分类讨论:
①当-
b
2
≥2
,即b≤-4时,F(x)在[-1,2]上为减函数,
∴F(x)min=F(2)=2b+7=1,得b=-3(舍去).…(9分)
②当-
b
2
∈(-1,2)
,即-4<b<2时,F(x)min=F(-
b
2
)=-
b2
4
+3=1

b=-2


2
b=2


2
(舍去).…(11分)
③当-
b
2
≤-1
,即b≥2时,F(x)在[-1,2]上为增函数,
∴F(x)min=F(-1)=4-b=1,得b=3.…(13分)
综上所述,b=-2


2
或b=3为所求.…(14分)
举一反三
设集合M=[0,1),N=[1,2),函数f(x)=





2x(x∈M)
4-2x(x∈N)

(1)若x∈M,g(x)=f2(x)-2f(x)+a,且g(x)的最小值为1,求实数a的值;
(2)若x0∈M,且f(f(x0))∈M,求x0的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若关于x的方程


x2-4
=x+m
没有实数解,则实数m的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若一元二次不等式2kx2+kx-
3
8
<0
对一切实数x都成立,则k的范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x2-mlnx+(m-1)x
,m∈R.
(1)当m=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当m≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)求证:当m=-2时,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>-1
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(  )
A.a<-2B.a>-2C.a>-6D.a<-6
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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