如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，

题型：解答题难度：一般来源：广东省模拟题

如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

答案

解：以O为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
依题意，可设抛物线弧OC的方程为，
∵点C的坐标为（2，1），
∴，，
故边缘线OC的方程为，
要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，
设切点坐标为，
∵，
∴直线EF的的方程可表示为，即，
由此可求得，
∴，
，
设梯形ABEF的面积为S（t），则
 
，
∴当t=1时，，
故S（t）的最大值为2.5，此时。