已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn．（1）若2Sn=1-an，n∈N+，求an．（2）若2Tn=1-an，an≠0，证明{1Tn}为等差数列，并求

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n．
（1）若2S_n=1-a_n，n∈N⁺，求a_n．
（2）若2T_n=1-a_n，a_n≠0，证明{

1

Tn

}为等差数列，并求a_n．
（3）在（2）的条件下，令M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1，求证：

1

15

≤Mn＜

1

6

．

答案

（1）∵2S_n=1-a_n，∴n≥2时，2S_n-1=1-a_n-1，
两式相减可得a_n=

1

3

a_n-1，
∵2S₁=1-a₁，∴a₁=

1

3

∴an=

1

3n

；
（2）证明：∵2T_n=1-a_n，∴2T_n=1-

Tn

Tn-1

，
∴

1

Tn

-

1

Tn-1

=2
∴{

1

Tn

}为等差数列；
∵T₁=a₁=

1

3

∴

1

Tn

=2n+1
∴T_n=

1

2n+1

，an=

2n-1

2n+1

；
（3）证明：∵T_n=

1

2n+1

，∴T_nT_n+1=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
∴M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1=

1

2

[

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
∴

1

15

≤Mn＜

1

6

．