已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1=ka2n+2(n≥2,n∈N*,k>0),a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{1
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已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1=ka2n+2(n≥2,n∈N*,k>0),a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{1
题型:不详
难度:
来源:
已知正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足S
n
+S
n-1
=
k
a
2n
+2(n≥2,n∈N*,k>0),a
1
=1.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{
1
a
n
a
n+1
}的前n项和为T
n
,是否存在常数k,使得T
n
<2对所有的n∈N*都成立?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵S
n
+S
n-1
=
k
a
2n
+2,∴S
n+1
+S
n
=
k
a
2n+1
+2
两式相减可得(a
n+1
+a
n
)[
(
a
n+1
-
a
n
)-
1
k
]=0
∵正项数列{a
n
},
∴
a
n+1
-
a
n
=
1
k
(n≥2)
∵S
2
+S
1
=
k
a
22
+2,a
1
=1
∴
a
2
=
1
k
∴a
n
=
1,n=1
n-1
k
,n≥2
;
(2)由题意,T
1
=k,
当n≥2时,
T
n
=k+
k
2
1×2
+…+
k
2
(n-1)n
=k+
k
2
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
)
=
k+
k
2
(1-
1
n
)
∵T
n
=
k+
k
2
(1-
1
n
)
<k+k
2
∴使得T
n
<2对所有的n∈N
*
都成立,只需要k+k
2
≤2(k>0),
∴0<k≤1.
举一反三
数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
-a
n
=3n∈N
*
,求数列{a
n
}的通项公式a
n
.
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
n
=2a
n
-2
n+1
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列{c
n
}满足
c
n
=
1
log
2
(
a
n
n+1
)+3
(n∈
N
*
)
,T
n
=c
1
c
2
+c
2
c
3
+c
3
c
4
+…+c
n
c
n+1
,若对一切n∈N
*
不等式4mT
n
>c
n
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:新余一模
难度:
|
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数列{a
n
}中,a
3
=1,a
1
+a
2
+…+a
n
=a
n+1
(n=1,2,3…).
(Ⅰ)求a
1
,a
2
;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的前n项和S
n
;
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项公式是a
n
=1-2n,其前n项和为S
n
,则数列{
S
n
n
}的11项和为______.
题型:不详
难度:
|
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{a
n
}是等差数列,满足
OC
=
a
1005
OA
+
a
1006
OB
,而
AB
=λ
AC
,则数列{a
n
}前2010项之和S
2010
为______.
题型:不详
难度:
|
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