已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).(1)求数列{cn}的通项公式;(2)设an=1cn,探究是否存在数列{bn},使得a1

已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).(1)求数列{cn}的通项公式;(2)设an=1cn,探究是否存在数列{bn},使得a1

题型:不详难度:来源:
已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)设an=
1
cn
,探究是否存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1)22n+1+2对一切正整数n都成立?若存在,请求出数列{bn}的通项公式,若不存在,请说明理由;
(3)若(2)探究出存在数列{bn},则求数列{bn•cn}的前n项的和Tn;若(2)探究出不存在数列{bn},则请计算数列{
2n+1
2n
}的前n项和.
答案
(1)当n=1时,S1+c1=1,即2c1=1,故c1=
1
2
(1分)
当n≥2时,Sn+cn=1,Sn-1+cn-1=1,两式相减,得(Sn-Sn-1)+(cn-cn-1)=0,
即2cn=cn-1
所以数列{cn}是首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列,
所以cn=(
1
2
)
n
.(3分)
(2)因为an=
1
cn

所以an=2n.(4分)
若存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1)2n+1+2对一切正整数n都成立,
则a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(2n一3)2n+2(n≥2),(6分)
两式相减,得anbn=2n(2n+1)(n≥2),解得bn=2n+1(n≥2);
由a1b1=6,得b1=3,符合上式,所以bn=2n+1(n∈N*).
所以存在符合条件的数列{bn},其通项公式为bn=2n+1(n∈N*).(8分)
(3)因为bn•cn=
2n+1
2n
,故数列{bn•cn}的前n项的和Tn=
3
2
+
5
22
+
7
23
+…+
2n+1
2n

所以
1
2
Tn=
3
22
+
5
23
+
7
24
+…+
2n+1
2n+1

所以Tn-
1
2
Tn=
3
2
+
2
22
+
2
23
+
2
24
+…+
2
2n
-
2n+1
2n+1
=
3
2
+
1
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
2n+1
2n+1
(11分)
1
2
Tn=
5
2
-
1
2n-1
-
2n+1
2n+1
=
5
2
-
2n+5
2n+1

所以Tn=5-
2n+5
2n
(13分)
举一反三
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1=k
a2n
+2(n≥2,n∈N*,k>0),a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn,是否存在常数k,使得Tn<2对所有的n∈N*都成立?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
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数列{an}中,a1=2,an+1-an=3n∈N*,求数列{an}的通项公式an
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=
1
log2(
an
n+1
)+3
(n∈N*)
,Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈N*不等式4mTn>cn恒成立,求实数m的取值范围.
题型:新余一模难度:| 查看答案
数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n=1,2,3…).
(Ⅰ)求a1,a2
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{
Sn
n
}的11项和为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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