设P：二次函数在区间上存在零点；Q：函数在内没有极值点．若“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，求实数的取值范围.

题型：解答题难度：简单来源：不详

设P：二次函数在区间上存在零点；Q：函数在内没有极值点．若“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，求实数的取值范围.

答案

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解析

试题分析：先求出p,q为真时对应的a的取值范围，然后根据“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题确定p,q一真一假，从而分两种情况：p真q假或p假q真两种情况研究出a的取值范围，最后求并集即可.
因为函数的对称轴是x＝2，所以f(x)在区间[－1,1]上是减函数．又函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有,…………………2分
即，解得：.
即P：.，或            ………………………4分
又函数在内没有极值点，则函数在上是单调函数,而，需，解得：
即Q：.Q：或      …………8分
由题设“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题知：p、Q一真一假…………9分
①当p真Q假时，需得： ………………10分
②当p 假Q真时，需得： ………………12分
综上，实数的取值范围为        ……………………13分
点评：复合命题真假判定方法：或命题是有真则真；且命题是有假则假，非命题是真假相反.