(本小题满分14分)已知函数f(x)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;(2)证明:对
题型:解答题难度:简单来源:不详
(本小题满分14分)已知函数f(x)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2. (1)求f(1)的值; (2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t; (3)试求满足f(t)=t的整数的个数,并说明理由. |
答案
(1) f(1)=1;(2)略;(3)1和-2 |
解析
(1)解:令x=y=0,得f(0)=-1. 令x=y=-1,因f(-2)=-2,所以f(-1)=-2. 令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1), 所以f(1)="1. " 4分 (2)证明:令x=1,得f(y+1)-f(y)=y+2, 故当y∈N时,有f(y+1)-f(y)>0. 由f(y+1)>f(y),f(1)=1可知,对一切正整数y都有f(y)>0. 当y∈N时,f(y+1)=f(y)+y+2=f(y)+1+y+1>y+1. 故对一切大于1的正整数,恒有f(t)>t. 9分 (3)解:由f(y+1)-f(y)=y+2及(1)可知f(-3)=-1,f(-4)=1. 下面证明t≤-4时,f(t)>t. ∵t≤-4,∴-(t+2)≥2>0. ∵f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0,∴f(-5)-f(-4)>0, 同理可得f(-6)-f(-5)>0,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0. 将各不等式相加得f(t)>f(-4)=1>-4. ∵t≤-4,∴f(t)>t. 综上所述,满足条件的整数只有两个:1和-2.………… 14分 |
举一反三
(本小题满分12分) 二次函数 (1)求的解析式; (2)在区间上,的图象上方,求实数m的范围. |
函数的零点所在的区间为( )A.(0,1 ) | B.(1,2) | C.(2,3) | D.(3,4) |
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若函数没有零点,则实数的取值范围为( ) |
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)是单调递减,若数列{an}是等差数列,且a3<0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值 |
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