已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内一定有实根.

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）内一定有实根.

答案

证明见解析

解析

证明 若a=0时，则b≠0，
此时方程的根为x=，满足题意.
当a≠0时，令f（x）=3ax²+2bx-（a+b）.
（1）若a(a+b)＜0,
则f（0）·f（）=-（a+b）·(-a)=a（a+b）＜0，
所以f（x）在区间(0,内有一实根.
（2）若a（a+b）≥0，
则f(f（1）=(-)（2a+b）
=-a²-a（a+b）＜0，
所以f（x）在区间(，1）内有一实根.
综上所述，方程3ax²+2bx-(a+b)=0在（0，1）内一定有实根.