已知函数f(x)=x+12,x∈[0,12)3x2,x∈[12,1],若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2),则x1•f(x2)的取值范围为( )A.[
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已知函数f(x)=x+12,x∈[0,12)3x2,x∈[12,1],若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2),则x1•f(x2)的取值范围为( )A.[
题型:单选题
难度:简单
来源:不详
已知函数
f(x)=
x+
1
2
,x∈[0,
1
2
)
3
x
2
,x∈[
1
2
,1]
,若存在x
1
<x
2
,使得f(x
1
)=f(x
2
),则x
1
•f(x
2
)的取值范围为( )
A.
[
3
4
,1)
B.
[
1
8
,
3
6
)
C.
[
3
16
,
1
2
)
D.
[
3
8
,3)
答案
①当 0≤x<
1
2
时,
1
2
≤f(x)=x+
1
2
<1.故当x=
1
4
时,f(x)=
3
4
.
②当
1
2
≤x≤1时,
3
4
≤f(x)=3x
2
≤3,故当x=
3
3
时,f(x)=1.
若存在x
1
<x
2
,使得f(x
1
)=f(x
2
)=k,则
1
4
≤x
1
<
1
2
≤x
2
<1,
如图所示:
显然当k=f(x
1
)=f(x
2
)=
3
4
时,x
1
•f(x
2
)取得最小值,
此时,x
1
=
1
4
,x
2
=
1
2
,x
1
•f(x
2
)的最小值为
1
4
×
3
4
=
3
16
.
显然,当k=f(x
1
)=f(x
2
)趋于1时,x
1
•f(x
2
)趋于最大,
此时,x
1
趋于
1
2
,x
2
趋于
3
3
,x
1
•f(x
2
)趋于
1
2
×1
=
1
2
.
故x
1
•f(x
2
)的取值范围为
[
3
16
,
1
2
)
,
故选C.
举一反三
f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数( )
A.是3个
B.是4个
C.是5个
D.多于5个
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
某同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
①等式f(-x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;
②函数f(x)的值域为(-1,1);
③若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
);
④方程f(x)-x=0有三个实数根.
其中正确结论的序号有______.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
如果关于x的方程
ax+
1
x
2
=3
在区间(0,+∞)上有且仅有一个解,那么实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知关于x的方程|x
2
-6x+5|=a有四个不相等的实数根,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
如果二次方程x
2
-px-q=0(p,q∈N
*
)的正根小于3,那么这样的二次方程有______个.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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