设a、b、c∈R，函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=3取得极值（1）求a、b的值；（2）若方程f（x）=0有3个不等实根，求c的取值范围．
题型：解答题难度：一般来源：不详
设a、b、c∈R，函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=3取得极值
（1）求a、b的值；
（2）若方程f（x）=0有3个不等实根，求c的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c
∴f"（x）=3x2+2ax+b
∵f（x）在x=1，x=3处取得极值
∴f"（1）=3+2a+b=0．f"（3）=27+6a+b=0
∴a=-6，b=9…（6分）
（2）∵f（x）=x3-6x2+9x+c，
∴f"（x）=3x3-12x2+9=3（x-1）（x-3）
∴x∈（-∞，1）时，f"（x）＞0，x∈（1，3）时，f"（x）＜0，x∈（3，+∞）时，f"（x）＞0，
∴f（x）极大值为f（1）=4+c，f（x）极小值为f（3）=c
∴方程f（x）=0有3个不等实根∴函数y=f（x）的图象与x轴有三个不同的交点∴4+c＞0＞c
∴-4＜c＜0…（12分） |
举一反三
| 关于x的方程x2+2=ax在区间[0，2）上有两个不同的实数根，则实数a的范围是______． |
方程-log3x=x+2的根所在的区间为（ ）| A．（0，1） | B．（1，2） | C．（2，3） | D．（3，4） |
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已知函数f（x）=log2x+，若x1∈（1，2），x2∈（2，+∞），则（ ）| A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 | B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 | | C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 | D．f（x1）＞0，f（x2）＞0 |
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已知函数f（x）=x-1-（x＞0）及h（x）=x2-1+lnx（x＞0）
（I）判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并求出h（1）的值；
（II）求函数f（x）的单调区间及其在定义域上的最小值；
（III）是否存在实数m，n，满足1≤m＜n，使得函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]？并说明理由． |
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