设a、b、c∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=3取得极值(1)求a、b的值;(2)若方程f(x)=0有3个不等实根,求c的取值范围.

设a、b、c∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=3取得极值(1)求a、b的值;(2)若方程f(x)=0有3个不等实根,求c的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设a、b、c∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=3取得极值
(1)求a、b的值;
(2)若方程f(x)=0有3个不等实根,求c的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c
∴f"(x)=3x2+2ax+b
∵f(x)在x=1,x=3处取得极值
∴f"(1)=3+2a+b=0.f"(3)=27+6a+b=0
∴a=-6,b=9…(6分)
(2)∵f(x)=x3-6x2+9x+c,
∴f"(x)=3x3-12x2+9=3(x-1)(x-3)
∴x∈(-∞,1)时,f"(x)>0,x∈(1,3)时,f"(x)<0,x∈(3,+∞)时,f"(x)>0,
∴f(x)极大值为f(1)=4+c,f(x)极小值为f(3)=c
∴方程f(x)=0有3个不等实根∴函数y=f(x)的图象与x轴有三个不同的交点∴4+c>0>c
∴-4<c<0…(12分)
举一反三
函数f(x)=sinx-lgx的零点个数是(  )
A.3B.2C.1D.0
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关于x的方程x2+2=ax在区间[0,2)上有两个不同的实数根,则实数a的范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
方程-log3x=x+2的根所在的区间为(  )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log2x+
1
1-x
,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则(  )
A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x-1-
lnx
x
(x>0)及h(x)=x2-1+lnx(x>0)
(I)判断函数h(x)在(0,+∞)上的单调性,并求出h(1)的值;
(II)求函数f(x)的单调区间及其在定义域上的最小值;
(III)是否存在实数m,n,满足1≤m<n,使得函数f(x)在[m,n]的值域也有[m,n]?并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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