已知函数f(x)=x-1-lnxx(x>0)及h(x)=x2-1+lnx(x>0)(I)判断函数h(x)在(0,+∞)上的单调性,并求出h(1)的值;(II)求

已知函数f(x)=x-1-lnxx(x>0)及h(x)=x2-1+lnx(x>0)(I)判断函数h(x)在(0,+∞)上的单调性,并求出h(1)的值;(II)求

题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
已知函数f(x)=x-1-
lnx
x
(x>0)及h(x)=x2-1+lnx(x>0)
(I)判断函数h(x)在(0,+∞)上的单调性,并求出h(1)的值;
(II)求函数f(x)的单调区间及其在定义域上的最小值;
(III)是否存在实数m,n,满足1≤m<n,使得函数f(x)在[m,n]的值域也有[m,n]?并说明理由.
答案
(Ⅰ)∵h"(x)=2x+
1
x
,又因为x>0,所以h"(x)>0在(0,+∞)上恒成立
即函数h(x)在(0,+∞)上是单调递增,(2分)
且h(1)=0(4分)
(Ⅱ)f"(x)=
x2-1+lnx
x2
=
h(x)
x2
(x>0)
由(Ⅰ)函数h(x)=x2-1+lnx在(0,+∞)上是单调递增,且h(1)=0可知:
当0<x<1时,h(x)<0,所以有f"(x)<0;
当x>1时,h(x)>0,所以有f"(x)>0.(7分)
即函数f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数.(8分)
所以函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0(9分)
(Ⅲ)不存在(10分)
∵函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
∴当满足1≤m<n,函数f(x)在[m,n]也是增函数.
若函数f(x)在[m,n]的值域也有[m,n],则有f(m)=m,f(n)=n,
也即函数y=f(x)与直线y=x在[1,+∞)上至少有两个不同的交点,
也即g(x)=f(x)-x在[1,+∞)上至少有两个不同的零点,
又g(x)=f(x)-x在区间[1,e)上是减函数,且g(1)=f(1)-1=-1,
当x∈[e,+∞)为增函数,且g(x)<0.
∴函数g(x)=f(x)-x在[1,+∞)上没有零点,
所以不存在实数m,n,满足1≤m<n,使得函数f(x)在[m,n]的值域也有[m,n].(13分)
举一反三
π
4
是函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,为常数)的零点,则f(x)的最小正周期是______.
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函数f(x)=mx2+(m-3)x+1至少有一个零点为正数,则实数m的取值范围为______.
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已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(2)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的大小,并说明理由;
(3)求证:当1<t<4时,关于x的方程:
f(x)
ex
=
2
3
(t-1)2
在区间[-2,t]上总有两个不同的解.
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已知方程(
1
2
x=x
1
3
的解x∈(
1
n+1
1
n
),则正整数n=______.
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已知函数f(x)=x3,g (x)=x+


x

(Ⅰ)求函数h (x)=f(x)-g (x)的零点个数.并说明理由;
(Ⅱ)设数列{ an}(n∈N*)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有an≤M.
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