已知方程（12）x=x13的解x∈（1n+1，1n），则正整数n=______．

题型：填空题难度：一般来源：江苏二模

已知方程（

1

2

）^x=x

1

3

的解x∈（

1

n+1

，

1

n

），则正整数n=______．

答案

方程（

1

2

）^x=x

1

3

的解即函数f（x）=（

1

2

）^x-x

1

3

的零点
∵y=（

1

2

）^x为定义域上的减函数，y=-x

1

3

为定义域上的减函数
∴函数f（x）为定义域R上的单调减函数
又∵f（

1

3

）=(

1

2

)

1

3

-(

1

3

)

1

3

＞0，（考虑幂函数y=x

1

3

为R上的增函数）
f（

1

2

）=(

1

2

)

1

2

-(

1

2

)

1

3

＜0，（考虑指数函数y=（

1

2

）^x为R上的减函数）
即f（

1

3

）×f（

1

2

）＜0
∴函数f（x）=（

1

2

）^x-x

1

3

在区间（

1

3

，

1

2

）上有且只有一个零点
∴

1

n

=

1

2

，即n=2
故答案为 n=2