(Ⅰ)由h(x)=x3-x-知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,且h(1)=-1<0,h(2)=6->0,则x=0为h(x)的一个零点,且h(x)在(1,2)内有零点, ∴h(x)至少有两个零点. 由h(x)=x(x2-1-x-),记g(x)=x2-1-x-,则g′(x)=2x+x-, 当x∈(0,+∞)时,g(x)单调递增,故可判断出h(x)在(0,+∞)仅有一个零点, 综上所述,h(x)有且只有两个零点. (Ⅱ)记h(x)的正零点为x0,即x03=x0+, (1)当a<x0时,由a1=a,即a1<x0,而a23=a1+<x0+=x03,∴a2<x0. 由此猜测an<x0.下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1<x0,成立. ②假设当n=k时ak<x0成立,则当n=k+1时,由ak+13=ak+<x0+=x03,知ak+1<x0. 因此当n=k+1时,ak+1<x0成立. 故对任意的n∈N*,an≤x0成立. (2)当a≥x0时,由(Ⅰ)知,当x∈(x0,+∞)时,h(x)单调递增,∴h(a)h(x0)=0,从而a2≤a,由此猜测an≤a.下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1≤a,成立. ②假设当n=k时ak<a成立,则当n=k+1时,由ak+13=ak+<a+<a3,知ak+1<a. 因此当n=k+1时,ak+1<a成立.故对任意的n∈N*,an≤a成立. 综上所述,存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有an≤M. |