已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex.(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;(2)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的

已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex.(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;(2)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的

题型:解答题难度:一般来源:天津模拟
已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(2)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的大小,并说明理由;
(3)求证:当1<t<4时,关于x的方程:
f(x)
ex
=
2
3
(t-1)2
在区间[-2,t]上总有两个不同的解.
答案
(1)因为f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex
由f′(x)>0⇒x>1或x<0,
由f′(x)<0⇒0<x<1,
∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
要使函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,则-2<t≤0,
(2))①若-2<t≤0,则f(x)在[-2,t]上单调递增,∴f(t)>f(-2);
②若0<t<1,则f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,t]上单调递减
又f(-2)=13e-2,f(1)=e,∴f(t)≥f(1)>f(-2);
③若t>1,则f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减
∴f(t)>f(1)>f(-2),
   综上,f(t)>f(-2).
(3)证:∵
f′(x0)
ex0
=x20
-x0
,∴
f′(x0)
ex0
=
2
3
(t-1)2
,即为x02-x0=
2
3
(t-1)2

令g(x)=x2-x-
2
3
(t-1)2
,从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-
2
3
(t-1)2
=0在[-2,t](1<t<4)上总有两个不同的解
因为g(-2)=6-
2
3
(t-1)2=-
2
3
(t-4)(t+2)
,g(t)=t(t-1)-
2
3
(t-1)2
=
1
3
(t+2)(t-1)

所以当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=-
4
3
(t-1)2
<0,所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解,
举一反三
已知方程(
1
2
x=x
1
3
的解x∈(
1
n+1
1
n
),则正整数n=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x3,g (x)=x+


x

(Ⅰ)求函数h (x)=f(x)-g (x)的零点个数.并说明理由;
(Ⅱ)设数列{ an}(n∈N*)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有an≤M.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(
1
10
)x-lgx
,若实数x0是函数y=f(x)的零点,且0<x1<x0,则f(x1)(  )
A.大于0B.等于0C.小于0D.不大于0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若关于x的方程x-
1
x
+k=0在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
1
x
+clnx
的图象与x轴相切于点S(s,0).
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T(t,f(t)),且f(t)≠0,证明:1<t<e;(注:e是自然对数的底)
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记直线ST的倾斜角为α,试证明:
π
4
<α<
12
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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