已知函数a=(cos2x,-1),b=(1,cos(2x-π3)),设f(x)=a•b+1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)设x为三角形的
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已知函数a=(cos2x,-1),b=(1,cos(2x-π3)),设f(x)=a•b+1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)设x为三角形的
题型:解答题
难度:一般
来源:湖北模拟
已知函数
a
=(cos2x,-1),
b
=(1,cos(2x-
π
3
)),设f(x)=
a
•
b
+1
.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)设x为三角形的内角,且函数y=2f(x)+k恰有两个零点,求实数k的取值范围.
答案
(1)由题意可得f(x)=
a
•
b
+1
=cos2x-cos(2x-
π
3
)+1
=cos2x-
1
2
cos2x-
3
2
sin2x+1=
1
2
cos2x-
3
2
sin2x+1
=1-sin(2x-
π
6
),所以其最小正周期为π,
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
解得
kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈Z,
故函数的单调递减区间为:(kπ-
π
6
,kπ+
π
3
),k∈Z,
(2)由(1)知:y=2f(x)+k=2+k-2sin(2x-
π
6
)
因为x为三角形的内角,且函数y=2f(x)+k恰有两个零点,
即方程sin(2x
-
π
6
)=1+
k
2
在区间(0,π)上恰有两根,
∴-1
<1+
k
2
<1
且1+
k
2
≠-
1
2
,
解得-4<k<0,且k≠-3
举一反三
已知函数f(x)=x+lgx.
(Ⅰ)利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;
(Ⅱ)证明方程f(x)=3在区间(1,10)上有实数解;
(Ⅲ)若x
0
是方程f(x)=3的一个实数解,且x
0
∈(k,k+1),求整数k的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=lnx-
2
x
的零点所在的大致区间及零点个数分别是( )
A.(1,2),1个
B.(2,e),2个以上
C.(2,e),1个
D.(e,3),1个
题型:单选题
难度:一般
|
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已知:x
2
-2ax+|a|=0有两个负根,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设f(x)=-x,g(x)=
-
2
X
(x≤0)
-
x
2
(x>0)
,则方程f[g (x)]-2=0的解是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数f(x)=mx
2
+(m-1)x+m有零点,则实数m的取值范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
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