已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)有两个零点;(2)若x1,x2∈R,x1<x2,f(x1)≠f(x2),

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)有两个零点;(2)若x1,x2∈R,x1<x2,f(x1)≠f(x2),

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)有两个零点;
(2)若x1,x2∈R,x1<x2,f(x1)≠f(x2),证明方程f(x)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=0
在区间(x1,x2)内有一个实根.
答案
证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0,
又∵a>b>c,∴3a>a+b+c>3c,即a>0>c.
∴a>0,c<0,即ac<0,
∴△=b2-4ac≥-4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,∴f(x)有两个零点. 
(2)设g(x)=f(x)-
1
2
[f(x1)+f(x2]

g(x1)=f(x1)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
1
2
[f(x1)-f(x2)]

g(x2)=f(x2)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
1
2
[f(x2)-f(x1)]

g(x1)•g(x2)=
1
2
[f(x1)-f(x2)]•
1
2
[f(x2)-f(x1)]=-
1
4
[f(x1)-f(x2)]2

∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)•g(x2)<0,
又函数g(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,由函数零点的判定定理可得:
g(x)=0在(x1,x2)内有一个实根.
举一反三
若函数f(x)=x2+mx-2在区间(1,2)上没有零点,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(
1
2
x-x
1
3
的零点一定位于下列的哪个区间(  )
A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(-1,0)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=acos2x+2cosx-3
(Ⅰ) 当a=1时,求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=f(x)存在零点,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=ex+x-2的零点个数为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3+x2+(2a-1)x+a2-a+1
,若f′(x)=0在(1,3]上有解,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.