已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0)(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅱ)若a=-12且关于x的方程f(x)=-12x+b

已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0)(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅱ)若a=-12且关于x的方程f(x)=-12x+b

题型:解答题难度:一般来源:台州模拟
已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-2x(a<0)
(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a=-
1
2
且关于x的方程f(x)=-
1
2
x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
答案
(I)对函数求导数,得f"(x)=-
ax2+2x-1
x
(x>0)
依题意,得f"(x)<0在(0,+∞)上有解.即ax2+2x-1>0在x>0时有解.
∴△=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.
再结合a<0,得-1<a<0…(5分)
(II)a=-
1
2
时,f(x)=-
1
2
x+b即
1
4
x2-
3
2
x+lnx-b=0
设g(x)=
1
4
x2-
3
2
x+lnx-b,则g"(x)=
(x-2)(x-1)
2x

∴当x∈(0,1)时,g"(x)>0;当x∈(1,2)时,g"(x)<0;当x∈(2,4)时,g"(x)>0.
得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数.在(1,2)上是减函数
∴g(x)的极小值为g(2)=ln2-b-2;g(x)的极大值为g(1)=-b-
5
4
,且g(4)=-b-2+2ln2;---(5分)
∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.





g(1)≥0
g(2)<0
g(4)≥0
,解之得:ln2-2<b≤-
5
4
…(5分)
举一反三
已知向量


m
=(sinx,-1)
,向量


n
=(


3
cosx,
1
2
)
,函数f(x)=(


m
+


n
)


m

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)若方程f(x)-t=0在x∈[
π
4
π
2
]
上有解,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0且0<x<m<n<
1
a
,比较f(x)与m的大小.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x3-3x2+1,g(x)=





(x-
1
2
)2+1(x>0)
-(x+3)2+1(x≤0)
,则方程g[f(x)]-a=0(a为正实数)的实数根最多有(  )个.
A.6个B.4个C.7个D.8个
题型:单选题难度:简单| 查看答案
(理) 已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)+2x=x2+b在[
1
2
,2]
上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知x=1是函数f(x)=
1
2
x2-6x+mlnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求m;
(Ⅱ)若直线y=n与函数y=f(x)的图象有3个交点,求n的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=(-5-a)lnx+
1
2
x2
+(6-b)x+2(a>0),G(x)=f(x)+g(x),若G(x)=0有两个不同零点x1,x2,且x0=
x1+x2
2
,试探究G′(x0)值的符号.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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